Sarkari Result Edu - सरकारी रिजल्ट और नौकरियाँ

 कक्षा 9 गणित अध्याय 1.5 (वास्तविक संख्याएँ) की प्रश्नावली 1.5 के सभी प्रश्नों के उत्तर हिंदी में। यहाँ से पढ़ें सरल NCERT हल और पक्की करें बोर्ड परीक्षा की तैयारी।

🔹 प्रश्न 1: निम्नलिखित में से किन संख्याओं को $\sqrt{p}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $p$ एक अभाज्य संख्या है?

(i) $\sqrt{4}$
(ii) $\sqrt{5}$
(iii) $\sqrt{9}$
(iv) $\sqrt{25}$
(v) $\sqrt{8}$
(vi) $\sqrt{27}$
(vii) $\sqrt{2}$
(viii) $\sqrt{21}$

---

उत्तर:

वह संख्याएँ जो केवल किसी अभाज्य संख्या $p$ के वर्गमूल के रूप में हों — जैसे $\sqrt{2}, \sqrt{5}$ — वही सही हैं।

✅ उत्तर:
(ii) $\sqrt{5}$
(vii) $\sqrt{2}$

---

🔹 प्रश्न 2: बताइए कि निम्नलिखित संख्याएँ परिमेय हैं या अपरिमेय:

(i) $\frac{2}{3}$
(ii) $\sqrt{9}$
(iii) $\sqrt{2}$
(iv) $\sqrt{7}$
(v) $0.83333...$
(vi) $1.4142135...$

---

उत्तर:

(i) $\frac{2}{3}$ – ✅ परिमेय
(ii) $\sqrt{9} = 3$ – ✅ परिमेय
(iii) $\sqrt{2}$ – ❌ अपरिमेय
(iv) $\sqrt{7}$ – ❌ अपरिमेय
(v) $0.8333... = \frac{5}{6}$ – ✅ परिमेय
(vi) $1.4142135...$ – ❌ अपरिमेय

---

🔹 प्रश्न 3: दर्शाइए कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

---

उत्तर:
मान लीजिए कि $\sqrt{2}$ परिमेय है।
तो इसे $\frac{a}{b}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ a और b परस्पर अभाज्य हैं।

⇒ $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$
⇒ स्क्वेयर दोनों ओर: $2 = \frac{a^2}{b^2}$
⇒ $a^2 = 2b^2$
⇒ $a^2$ एक सम संख्या है → $a$ भी सम होगा।

तो, $a = 2k$
अब, $a^2 = (2k)^2 = 4k^2$
⇒ $4k^2 = 2b^2$
⇒ $b^2 = 2k^2$ → मतलब $b$ भी सम है।

लेकिन अगर a और b दोनों सम हैं, तो वे परस्पर अभाज्य नहीं हो सकते —
👉 विरोधाभास है।

✅ इसलिए, $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

---

🔹 प्रश्न 4: क्या $0.101001000100001...$ परिमेय संख्या है?

---

उत्तर:
यह संख्या न दोहराव में है, न ही समाप्त होती है।
👉 इस तरह की दशमलव संख्या को परिमेय के रूप में नहीं लिखा जा सकता।

✅ इसलिए यह अपरिमेय संख्या है।